Étude d’une fonction

Pour étudier le sens de variations d’une fonction, il faut étudier le signe de sa dérivée.

Limite d’une fonction

  • La limite d’une fonction polynôme en +∞ (respectivement en -∞) est égal à la limite en +∞ (respectivement en -∞) du terme de plus haut degré.
  • La limite d’une fonction rationnelle en +∞ (respectivement en -∞) est égal à la limite en +∞ (respectivement en -∞) du quotient (fraction) des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Asymptotes

  • Si lim f(x) = +/- ∞ => asymptote verticale d’équation x = a                                                                  x -> a
  • Si lim f(x) = b => asymptote horizontale d’équation y = b                                                                      x -> +/- ∞
  • Si lim [f(x) – (ax + b)] = 0 => asymptote oblique d’équation y = ax + b                                                  x -> +/- ∞

Variation d’une fonction

Soit une fonction définie sur un intervalle I, et admettant sur cet intervalle une dérivée f’.

  • Si pour tout x de I, on a : f’(x) ≥ 0 alors f est croissante sur I.
  • Si pour tout x de I, on a : f’(x) ≤ 0 alors f est décroissante sur I.

=> On en déduit donc les tableaux de variations à partir de l’étude de signe de la dérivée.

Résoudre une équation du second degré

Y = ax² + bx + c

Calcul du discriminant: ∆= b²-4ac

  • 1er cas: ∆ < 0 : Le polynôme n’a pas de racine.
  • 2ème cas: ∆ > 0 : Le polynôme a 2 racines:                                                                                     x1 = (-b -√∆) / 2a                                                                                                                                       x2 = (-b +√∆) / 2a                                                                                                                                      -> Dans ce cas le polynôme peut se factoriser : ax² + bx + c => a(x-x1)(x-x²)
  • 3ème cas: ∆ = 0 : Le polynôme a une racine double : α = -b / 2a                                                 -> Dans ce cas le polynôme peut se factoriser : ax² + bx + c => a(x-α)²

=> Dans tous les cas le polynôme est toujours du signe de a sauf à l’intérieur des racines :

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Variation d’une fonction                                               

Pour le tableau de variation il faut indiquer toutes les valeurs pour lesquelles la fonction f(x) = 0 pour cela voir calcul discriminant.-> f(xo) est appelé minimum de la fonction.-> f(xo) est appelé maximum de la fonction. => Les extremums sont les maximums et les minimums.

Pour le tableau de variation il faut indiquer toutes les valeurs pour lesquelles la fonction f(x) = 0 pour cela il faut factoriser l’équation dérivée si c’est une fonction simple ou alors faire le calcul discriminant pour un polynôme du second degré.

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Exemple

Dresser le tableau de variations de la fonction f(x) = 2x^3 – 3x^2 + 6

-> On dérive f(x) : f’(x) = 3 × 2x^(3-1) – 2 × 3x^(2-1) = 6^2 – 6^x

Il faut factoriser pour avoir la dérivée sous forme de multiplication : f’(x) = 6x(x-1)

-> Pour vérifier si la factorisation est bonne il faut développer la factorisation pour vérifier si on retombe sur l’équation de base de la dérivée : 6x × x + 6x × (-1) = 6x^2 – 6^x

Tableau de signe

Il faut indiquer toutes les valeurs pour lesquelles la fonction f(x) = 0

C’est une fonction simple donc résolution d’équation simple des facteurs : 6x = 0 <-> x=0 / x-1 = 0 <-> x = 1

=> Si c’était un polynome de seconde degré « y = ax² + bx + c » alors calcul du discriminant (au dessus)

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